Álgebra de Boole

Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que rigorizan las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.
Se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del siglo XIX. Específicamente, el álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1938.

Todas las variables y constantes del Álgebra booleana, admiten sólo uno de dos valores en sus entradas y salidas: Sí/No, 0/1 o Verdadero/Falso. Estos valores bivalentes y opuestos pueden ser representados por números binarios de un dígito (bits), por lo cual el Álgebra booleana se puede entender cómo el Álgebra del Sistema Binario. Al igual que en álgebra tradicional, también se trabaja con letras del alfabeto para denominar variables y formar ecuaciones para obtener el resultado de ciertas operaciones mediante una ecuación o expresión booleana. Evidentemente los resultados de las correspondientes operaciones también serán binarios.
Todas las operaciones (representadas por símbolos determinados) pueden ser materializadas mediante elementos físicos de diferentes tipos (mecánicos, eléctricos, neumáticos o electrónicos) que admiten entradas binarias o lógicas y que devuelven una respuesta (salida) también binaria o lógica. Ejemplos de dichos estados son: Abierto/Cerrado (interruptor), Encendida/Apagada (bombilla), Cargado/Descargado (condensador) , Nivel Lógico 0/Nivel lógico 1 (salida lógica de un circuito semiconductor), etcétera.
Los dispositivos con los cuales se implementan las funciones lógicas son llamados puertas (o compuertas) y, habitualmente, son dispositivos electrónicos basados en transistores. Estos dispositivos, y otros que veremos a lo largo de esta unidad, son los que permiten el diseño, y la ulterior implementación, de los circuitos de cualquier ordenador moderno, así como de muchos de los elementos físicos que permiten la existencia de las telecomunicaciones modernas, el control de máquinas, etcétera. De hecho, pensando en los ordenadores como una jerarquía de niveles, la base o nivel inferior sería ocupada por la lógica digital (en el nivel más alto del ordenador encontraríamos los actuales lenguajes de programación de alto nivel).

El Álgebra de Boole es una estructura algebraica que puede ser considerada desde distintos puntos de vista matemáticos:

Como retículo

1. Ley de Idempotencia:

2. Ley de Asociatividad:

3. Ley de Conmutatividad:

4. Ley de Cancelativo:

Como anillo
El Álgebra de Boole tiene Estructura algebraica de Anillo:

Grupo abeliano respecto a (+)

El conjunto A={0,1} es un Grupo abeliano respecto a (+):

1. (+) es una operación interna en A:

2. Es asociativa:
3. Tiene elemento neutro
4. Tiene elemento simétrico:

5. es conmutativa:

Grupo abeliano respecto a (·)
El conjunto A={0,1} es un Grupo abeliano respecto a ():

6. () es una operación interna en A:

7. Es asociativa:

8. Tiene elemento neutro

9. Tiene elemento simétrico:

10. es conmutativa:

Distributivo
El conjunto A={0,1} es un Grupo abeliano respecto a (+) y () y es distributiva:
11. La operación (+) es distributiva respecto a ():

12. La operación () es distributiva respecto a (+):

Como resultado podemos decir que el Álgebra de Boole tiene Estructura algebraica de anillo conmutativo y con elemento neutro respecto a las dos operaciones (+) y ().

Operaciones

Hemos definido el conjunto A = {0,1} como el conjunto universal sobre el que se aplica el álgebra de Boole, sobre estos elementos se definen varias operaciones, veamos las más fundamentales:

Operación suma
La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:
Si uno de los valores de a o b es 1, el resultado será 1, es necesario que los dos sumandos sean 0, para que el resultado sea 0.

Operación producto
La operación producto () asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:
solo si los dos valores a y b son 1, el resultado será 1, si uno solo de ellos es 0 el resultado será 0.

Operación negación

La operación negación presenta el opuesto del valor de a:

Leyes fundamentales

El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.

Ley de involución:

Ley distributiva:

Ley de cancelación:

7. Leyes de De Morgan:

Logica Negada

Puerta NO (NOT)

El circuito NOT es un inversor que invierte el nivel lógico de una señal binaria.
Produce el NOT, o función complementaria. El símbolo algebraico utilizado para el complemento es una barra sobra el símbolo de la variable binaria. Si la variable binaria posee un valor 0, la compuerta NOT cambia su estado al valor 1 y viceversa. El círculo pequeño en la salida de un símbolo gráfico de un inversor designa un inversor lógico. Es decir cambia los valores binarios 1 a 0 y viceversa.

La ecuacion característica que describe el comportamiento de la puerta NOT y su tabla de verdad son las siguientes:

Puerta NO-Y (NAND)

La puerta lógica NO-Y, más conocida por su nombre en inglés NAND, realiza la operación de producto lógico negado. En la figura de la derecha pueden observarse sus símbolos en electrónica.

La ecuacion característica que describe el comportamiento de la puerta NAND y su tabla de verdad son las siguientes:

Puerta NO-O (NOR)

La puerta lógica NO-O, más conocida por su nombre en inglés NOR, realiza la operación de suma lógica negada.

La ecuacion característica que describe el comportamiento de la puerta NOR y su tabla de verdad son las siguientes:

Puerta equivalencia (XNOR)

La puerta lógica equivalencia, más conocida por su nombre en inglés XNOR, realiza la función booleana AB+A'B'. Su símbolo es un punto (·) inscrito en un círculo.

La ecuacion característica que describe el comportamiento de la puerta XNOR y su tabla de verdad son las siguientes:

Compuertas Logicas

Las computadoras digitales utilizan el sistema de números binarios, que tiene dos dígitos 0 y 1. Un dígito binario se denomina un bit. La información está representada en las computadoras digitales en grupos de bits. Utilizando diversas técnicas de codificación los grupos de bits pueden hacerse que representen no solamente números binarios sino también otros símbolos discretos cualesquiera, tales como dígitos decimales o letras de alfabeto. Utilizando arreglos binarios y diversas técnicas de codificación, los dígitos binarios o grupos de bits pueden utilizarse para desarrollar conjuntos completos de instrucciones para realizar diversos tipos de cálculos.

La información binaria se representa en un sistema digital por cantidades físicas denominadas señales, Las señales eléctricas tales como voltajes existen a través del sistema digital en cualquiera de dos valores reconocibles y representan una variable binaria igual a 1 o 0. Por ejemplo, un sistema digital particular puede emplear una señal de 3 volts para representar el binario "1" y 0.5 volts para el binario "0". La siguiente ilustración muestra un ejemplo de una señal binaria.

La lógica binaria tiene que ver con variables binarias y con operaciones que toman un sentido lógico. La manipulación de información binaria se hace por circuitos lógicos que se denominan Compuertas.

Las compuertas son bloques del hardware que producen señales en binario 1 ó 0 cuando se satisfacen los requisitos de entrada lógica. Las diversas compuertas lógicas se encuentran comúnmente en sistemas de computadoras digitales. Cada compuerta tiene un símbolo gráfico diferente y su operación puede describirse por medio de una función algebraica. Las relaciones entrada - salida de las variables binarias para cada compuerta pueden representarse en forma tabular en una tabla de verdad

Puerta SIM o BufferX54

La puerta lógica SI, realiza la función booleana igualdad. En la práctica se suele utilizar como amplificador de corriente (buffer en inglés).
La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta SI es: F=A
Su tabla de verdad es la siguiente:

Puerta Y (AND)

La puerta lógica Y, más conocida por su nombre en inglés AND, realiza la función booleana de producto lógico. Su símbolo es un punto (·), aunque se suele omitir. Así, el producto lógico de las variables A y B se indica como AB, y se lee A y B o simplemente A por B.

La ecuacion característica que describe el comportamiento de la puerta AND y
su tabla de verdad son las siguientes:

Se puede definir la puerta AND, como aquella compuerta que entrega un 1 lógico sólo si todas las entradas están a nivel alto 1

Puerta lógica O

Más conocida por su nombre en inglés OR, realiza la operación de suma lógica.

La ecuacion característica que describe el comportamiento de la puerta OR y su tabla de verdad son las siguientes:

Puerta OR-exclusiva (XOR)

La puerta lógica O-exclusiva, más conocida por su nombre en inglés XOR, realiza la función booleana A'B+AB'. Su símbolo es el más (+) inscrito en un círculo.

Se puede definir esta puerta como aquella que da por resultado uno, cuando los valores en las entradas son distintos. ej: 1 y 0, 0 y 1 (en una compuerta de dos entradas).
Si la puerta tuviese tres o más entradas, la XOR tomaría la función de suma de paridad, cuenta el número de unos a la entrada y si son un número impar, pone un 1 a la salida, para que el número de unos pase a ser par. Esto es así porque la operación XOR es asociativa

La ecuacion característica que describe el comportamiento de la puerta XOR y su tabla de verdad son las siguientes: