Álgebra de Boole

Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que rigorizan las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.
Se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del siglo XIX. Específicamente, el álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1938.

Todas las variables y constantes del Álgebra booleana, admiten sólo uno de dos valores en sus entradas y salidas: Sí/No, 0/1 o Verdadero/Falso. Estos valores bivalentes y opuestos pueden ser representados por números binarios de un dígito (bits), por lo cual el Álgebra booleana se puede entender cómo el Álgebra del Sistema Binario. Al igual que en álgebra tradicional, también se trabaja con letras del alfabeto para denominar variables y formar ecuaciones para obtener el resultado de ciertas operaciones mediante una ecuación o expresión booleana. Evidentemente los resultados de las correspondientes operaciones también serán binarios.
Todas las operaciones (representadas por símbolos determinados) pueden ser materializadas mediante elementos físicos de diferentes tipos (mecánicos, eléctricos, neumáticos o electrónicos) que admiten entradas binarias o lógicas y que devuelven una respuesta (salida) también binaria o lógica. Ejemplos de dichos estados son: Abierto/Cerrado (interruptor), Encendida/Apagada (bombilla), Cargado/Descargado (condensador) , Nivel Lógico 0/Nivel lógico 1 (salida lógica de un circuito semiconductor), etcétera.
Los dispositivos con los cuales se implementan las funciones lógicas son llamados puertas (o compuertas) y, habitualmente, son dispositivos electrónicos basados en transistores. Estos dispositivos, y otros que veremos a lo largo de esta unidad, son los que permiten el diseño, y la ulterior implementación, de los circuitos de cualquier ordenador moderno, así como de muchos de los elementos físicos que permiten la existencia de las telecomunicaciones modernas, el control de máquinas, etcétera. De hecho, pensando en los ordenadores como una jerarquía de niveles, la base o nivel inferior sería ocupada por la lógica digital (en el nivel más alto del ordenador encontraríamos los actuales lenguajes de programación de alto nivel).

El Álgebra de Boole es una estructura algebraica que puede ser considerada desde distintos puntos de vista matemáticos:

Como retículo

1. Ley de Idempotencia:

2. Ley de Asociatividad:

3. Ley de Conmutatividad:

4. Ley de Cancelativo:

Como anillo
El Álgebra de Boole tiene Estructura algebraica de Anillo:

Grupo abeliano respecto a (+)

El conjunto A={0,1} es un Grupo abeliano respecto a (+):

1. (+) es una operación interna en A:

2. Es asociativa:
3. Tiene elemento neutro
4. Tiene elemento simétrico:

5. es conmutativa:

Grupo abeliano respecto a (·)
El conjunto A={0,1} es un Grupo abeliano respecto a ():

6. () es una operación interna en A:

7. Es asociativa:

8. Tiene elemento neutro

9. Tiene elemento simétrico:

10. es conmutativa:

Distributivo
El conjunto A={0,1} es un Grupo abeliano respecto a (+) y () y es distributiva:
11. La operación (+) es distributiva respecto a ():

12. La operación () es distributiva respecto a (+):

Como resultado podemos decir que el Álgebra de Boole tiene Estructura algebraica de anillo conmutativo y con elemento neutro respecto a las dos operaciones (+) y ().

Operaciones

Hemos definido el conjunto A = {0,1} como el conjunto universal sobre el que se aplica el álgebra de Boole, sobre estos elementos se definen varias operaciones, veamos las más fundamentales:

Operación suma
La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:
Si uno de los valores de a o b es 1, el resultado será 1, es necesario que los dos sumandos sean 0, para que el resultado sea 0.

Operación producto
La operación producto () asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:
solo si los dos valores a y b son 1, el resultado será 1, si uno solo de ellos es 0 el resultado será 0.

Operación negación

La operación negación presenta el opuesto del valor de a:

Leyes fundamentales

El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.

Ley de involución:

Ley distributiva:

Ley de cancelación:

7. Leyes de De Morgan: